Question

在三棱柱ABC—A′B′C′中，側面CBB′C′⊥底面ABC,∠B′BC=60°,∠ACB=90°，且CB=CC′=CA.

(1)求證：平面AB′C⊥平面A′C′B；

(2)求異面直線A′B與AC′所成的角.

Answer 1

思路解析：本題第一問，要證明面面垂直，可以依據面面垂直的判定定理來考慮，先證明其中一個面內的一條直線垂直于另外一個平面，而要證明一條直線垂直于一個平面，可以去證明這條直線垂直于另外一個平面內的相交的兩條直線，轉而證明相關的向量相互垂直，從而達到目的；第二問，可以轉而去求相關的向量所成的角.

解：建立如圖所示的空間直角坐標系.

設BC=2a,則A(0,2a,0)，B(-2a,0,0)，B′(-a,0,a)，C′(a,0,a)，A′(a,2a,a)，

則=(a,-2a,a)，=(-3a,-2a,-a)，=(-a,-2a,a)，=(3a,0,a)，=(-a,0,a).

(1)∵·=0，·=0,

∴BC′⊥CB′,BC′⊥AB′.

∴BC′⊥平面AB′C.

又BC′平面A′C′B，

∴平面AB′C⊥平面A′C′B.

(2)∵·=-2a²，||=4a，||=2a，

∴cos〈,〉=.∴異面直線A′B與AC′所成的角為arccos.