Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點D，D₁分別為棱BC，B₁C₁的中點．求證：
（Ⅰ）平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）直線A₁D₁∥平面ADC₁．

Answer 1

分析：（1）利用線面平行的判定定理，只需證明平面外的直線平行于平面內的一條直線，證明A₁D₁∥AD即可；
（2）利用面面垂直的判定定理，只需證明一個平面經過另一個平面的垂直，證明AD⊥平面BCC₁B₁即可．

解答：證明：（Ⅰ）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵CC₁⊥底面ABC，又AD?底面ABC
∴AD⊥CC₁…（2分）
∵點D為棱BC的中點∴AD⊥BC，…（4分）CC₁?平面BCC₁B₁，BC?平面BCC₁B₁CC₁∩BC=C，
∴AD⊥平面BCC₁B₁…（6分）
又∵AD?平面ADC₁∴平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁…（7分）
（Ⅱ）證明：在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵CC₁⊥底面ABC，又AD?底面ABC
∴AD⊥CC₁…（9分）
∵點D為棱BC的中點，
∴AD⊥BC，…（10分）
CC₁?平面BCC₁B₁，BC?平面BCC₁B₁，CC₁∩BC=C，
∴AD⊥平面BCC₁B₁…（11分）
又∵AD?平面ADC₁，
∴平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁…（12分）

點評：本題以正三棱柱為載體，考查線面、面面位置關系，考查面面角，解題的關鍵是正確掌握線面平行、面面垂直的判定定理．