Question

【題目】如圖，三棱柱中，側棱底面， ， ， 是棱的中點.

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】試題分析：

(1)首先由題意證得平面.然后結合面面垂直的判斷定理即可證得平面平面；

(2)利用題意建立空間直角坐標系，結合平面向量的法向量可得平面與平面所成二面角的余弦值為.

試題解析：

（Ⅰ）因為側棱底面，

所以，

又因為， ，

所以平面，

因為平面，

所以，

設，由， ， 是棱的中點.

所以， ，

則 ，

所以，

因，

所以平面.

又因為平面，

所以平面平面.

（Ⅱ）如圖所示，分別以， ， 所在直線為， ， 軸建立空間直角坐標系，

不妨設，則， ， ， .

顯然是平面的一個法向量，

設平面的法向量，

由

令，得平面的一個法向量，

所以 ，

即平面與平面所成二面角的余弦值為.