Question

【題目】如圖，在各棱長均為2的正三棱柱中， 分別為棱與的中點， 為線段上的動點，其中， 更靠近，且.

(1)證明: 平面；

(2)若與平面所成角的正弦值為，求異面直線與所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析.

(2).

【解析】試題分析：（1）根據正三角形性質得，結合線面垂直得.因此可得平面，即.再根據，得平面，（2）先根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解平面法向量，根據向量數量積求夾角，再根據線面角與向量夾角互余關系列方程，解得N坐標，最后根據向量數量積求異面直線與所成角的余弦值.

試題解析：解：（1）證明：由已知得為正三角形，為棱的中點，

∴，

在正三棱柱中，底面，則.

又，∴平面，∴.

易證，又，∴平面.

（2）解：取的中點，的中點，則，，

以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，

設 ，

則 ，

易知是平面的一個法向量，

∴ ，解得.

∴， ， ，，

∴ ，

∴異面直線與所成角的余弦值為.