Question

已知平面直角坐標系xOy上的區域D由不等式組

0≤x≤ 2 y≤2 x≤ 2 y

給定，若M（x，y）為D上的動點，點A的坐標為(

2

，1)，
（1）求區域D的面積
（2）設z=

2

x+y，求z的取值范圍；
（3）若M（x，y）為D上的動點，試求（x-1）²+y²的最小值．

Answer 1

分析：（1）作出題中不等式組對應的平面區域，得到如圖所示的直角梯形OABC及其內部，其中A（

2

，1），B（

2

，2），C（0，2），由梯形面積公式即可算出區域D的面積；
（2）將目標函數z=

2

x+y對應的直線進行平移，可得當x=

2

，y=2時z達到最大值；當x=y=0時z達到最小值．由此即可得到z的取值范圍；
（3）設N（1，0），可得（x-1）²+y²表示N、M兩點之間的距離平方值，運動點M可得當M在OA上且MN⊥OA時，MN取到最小值．因此結合點到直線的距離公式，即可算出（x-1）²+y²的最小值．

解答：（1）由不等式組

0≤x≤ 2 y≤2 x≤ 2 y

表示的平面區域，得到四邊形ABCO及其內部，
其中A（

2

，1），B（

2

，2），C（0，2）
∴平面區域D是如圖所示的直角梯形OABC，其面積為
S=

1

2

（AB+CO）×BC=

3 2

2

（3分）
（2）將z=

2

x+y對應的直線l進行平移，可得
當l經過點B時，z達到最大值；當l經過點0時，z達到最小值
∴z_max=

2

×

2

+2=4，z_min=0
由此可得，z的取值范圍是[0，4]-----（7分）
（3）設N（1，0），結合M（x，y）為D上的動點，可得
（x-1）²+y²=|MN|²
運動點M，可得當點M與N在直線OA上的射影重合，即MN⊥OA時
點M、N的距離最短，此時|MN|=

1

1+2

=

3

3

∴|MN|²的最小值為

1

3

，即（x-1）²+y²的最小值是

1

3

．（12分）

點評：本題給出不等式組表示的平面區域，求區域的面積并討論目標函數的取值范圍，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區域、點到直線的距離公式和簡單的線性規劃等知識，屬于中檔題．