Question

設定義域在R上的函數f(x)=a₀x⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x，(a_i∈R，i=0，1，2，3)，當x=-時，f(x)取得極大值，并且導函數y=f′(x)的圖像關于y軸對稱，

(1)求f(x)的解析式；

(2)試在函數f(x)的圖像上求兩點，使以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標都在區間[-1，1]上；

(3)求證：|f(sinx)-f(cosx)|≤，(x∈R)．

Answer 1

解：(1)∵f′(x)=4a₀x³+3a₁x₂+2a₁x+a₃

由于f′(x)為偶函數  ∴a₀=a₁=0

∴f(x)=a₁x³+a₃x，f′(x)=3a₁x²+a₃

又∵x=-時，f(x)取得極大值

∴

即f(x)=x³-x.

(2)設所求點的橫坐標為x₁、x₂（x₁＜x₂）

由已知這兩點處切線斜率為

∵()·()=-1

∵x₁、x₂∈[-1，1]．  ∴∈[-1，1]

存在中有一個為1，另一個為-1.

∴

∴所求兩點坐標為 (0，0)與(1，)或(0，0)與(-1，)

(3) ∵sinx,cosx∈[-1，1]

而f′(x)=2x²-1=0x=±

∴f(x)在[-1，]及[，1]上遞減，

在[-，]上遞減

即f(x)_極大值=f(-)=

f(x)_極小值=f()=-

而f(-1)=    f(-1）=-

∴f(x)_max=    f(x)_min=-

∴|f(sinx)-f(cosx)|≤|f(sinx)|+|f(cosx)|≤