【題目】設拋物線
的焦點為F，準線為
，直線l與C交于A，B兩點，線段AB中點M的橫坐標為2.
（1）求C的方程；
（2）若l經過F，求l的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）根據拋物線的準線方程，即可求得拋物線的標準方程.
（2）作
垂直準線交于
，作
垂直準線交于
，交
軸于
，作
垂直準線交于
.當直線斜率不存在時，不合題意，當斜率存在時，設出直線方程，聯立拋物線，化簡后由韋達定理并結合中點的橫坐標，即可確定斜率，進而求得直線方程.
（1）拋物線
的準線為
，
則
，解得
，
所以拋物線
.
（2）作垂直準線交于，作垂直準線交于，交軸于，作垂直準線交于，幾何關系如下圖所示：
因為線段AB中點M的橫坐標為2.
則
，
由梯形中位線可知
由拋物線定義可知
直線
經過F，當斜率不存在時
，不合題意，
所以直線斜率一定存在，
拋物線，則焦點
.
設直線的方程為
，
聯立拋物線
，化簡可得
，
則
，
解得
，
所以直線的方程為.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
是橢圓C：
上的一點，橢圓C的離心率與雙曲線
的離心率互為倒數，斜率為
直線l交橢圓C于B，D兩點，且A、B、D三點互不重合．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若
分別為直線AB，AD的斜率，求證：
為定值。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某企業有甲、乙兩套設備生產同一種產品，為了檢測兩套設備的生產質量情況，隨機從兩套設備生產的大量產品中各抽取了50件產品作為樣本，檢測一項質量指標值，若該項質量指標值落在
內，則為合格品，否則為不合格品. 表1是甲套設備的樣本的頻數分布表，圖1是乙套設備的樣本的頻率分布直方圖.
表1：甲套設備的樣本的頻數分布表
質量指標值 |
|
|
|
|
|
|
頻數 | 1 | 5 | 18 | 19 | 6 | 1 |
圖1：乙套設備的樣本的頻率分布直方圖
（1）將頻率視為概率. 若乙套設備生產了5000件產品，則其中的不合格品約有多少件；
（2）填寫下面列聯表，并根據列聯表判斷是否有90%的把握認為該企業生產的這種產品的質量指標值與甲、乙兩套設備的選擇有關；
甲套設備 | 乙套設備 | 合計 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合計 |
| 0.15 | 0.10 | 0.050 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 |
附:
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】記拋物線
的焦點為
，點
在拋物線上，
，斜率為
的直線
與拋物線
交于
兩點.
（1）求
的最小值；
（2）若
，直線
的斜率都存在，且
；探究：直線是否過定點，若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
是兩條異面直線,直線
與都垂直,則下列說法正確的是（ ）
A. 若
平面
，則
B. 若
平面，則
,
C. 存在平面，使得
,
,
D. 存在平面，使得
,,
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】
中，已知
，
，
，D是邊AC上一點，將
沿BD折起，得到三棱錐
．若該三棱錐的頂點A在底面BCD的射影M在線段BC上，設
，則x的取值范圍為（）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
.
（1）求直線和曲線的普通方程；
（2）已知點
，且直線和曲線交于
兩點，求
的值
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