Question

設f(x)=

2

3

x3-2x+m(-

4

3

≤m≤

4

3

)．
（I）求f（x）的單調區間與極值；
（II）求方程f（x）=0的實數解的個數．

Answer 1

分析：（I）利用函數的求導公式求出函數的導數，根據導數求函數的單調性和極值．
（II）由于-

4

3

≤m≤

4

3

，所以f(-1)=m+

4

3

≥0，f(1)=m-

4

3

≤0．再進行分類討論．

解答：解：（I）f'（x）=2x²-2，由f'（x）=2x²-2=0得 x=-1或x=1．

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	--	0	+
f（x）	單增	極大值	單減	極小值	單增

所以，f（x）的單調遞增區間為（-∞，-1）和（1，+∞），單調遞減區間為（-1，1）；
極大值為f(-1)=m+

4

3

，極小值為f(1)=m-

4

3

．
（II）由于-

4

3

≤m≤

4

3

，所以f(-1)=m+

4

3

≥0，f(1)=m-

4

3

≤0．
①當m=-

4

3

時，f（-1）=0，即x=-1是方程f（x）=0的一個解．
又因為f(1)=-

4

3

-

4

3

=-

8

3

＜0， f(3)=

2

3

×27-6-

4

3

=12-

4

3

＞0，
所以，方程f（x）=0在（1，3）內至少有一個解．根據函數f（x）單調性可知，方程f（x）=0有兩個不同的解．
②當m=

4

3

時，f(1)=m-

4

3

=0，即x=1是方程f（x）=0的一個解．
又因為f(-1)=

4

3

+

4

3

=

8

3

＞0， f(-3)=-12+

4

3

＜0，
所以方程f（x）=0在（-3，-1）內至少有一個解．根據函數f（x）單調性可知，方程f（x）=0有兩個不同的解．
③當-

4

3

＜m＜

4

3

時，f(-1)=m+

4

3

＞0，f(1)=m-

4

3

＜0，所以方程f（x）=0在（-1，1）內至少有一個解．又由f（-3）=m-12＜0，知方程f（x）=0在（-3，-1）內至少有一個解；由f（3）=12+m＞0，知方程f（x）=0在（1，3）內至少有一個解．根據函數f（x）單調性可知，方程f（x）=0有三個不同的解．

點評：通過本題考查學生幾個方面的能力：（1）能否將“求方程f（x）=0的實數解的個數”問題轉化為函數f（x）的零點問題；（2）對于函數問題，是否能夠主動運用導數這一工具來研究函數整體的狀態、性質．