【題目】已知函數
(
為自然對數的底數).
(Ⅰ)求函數
的單調區間；
(Ⅱ)若
，
，試求函數
極小值的最大值.
【答案】（1）單調遞減區間是
，單調遞增區間是
； （2）1.
【解析】
（I）計算
導函數，構造函數
，判定單調性，得到的單調性，即可。（II）得到
的解析式，結合導函數判定單調性，得到極小值，構造函數
，結合導函數，計算該函數的極值，即可。
(Ⅰ)易知
，且
.
令
，則
，
∴函數在
上單調遞增，且
.
可知，當
時，
，
單調遞減；
當
時，
，單調遞增.
∴函數的單調遞減區間是
，單調遞增區間是.
(Ⅱ)∵
，∴
.
由(Ⅰ)知，
在上單調遞增，
當
時，
；當
時，
，則
有唯一解
.
可知，當
時，
，
單調遞減；
當
時，
，單調遞增，
∴函數在
處取得極小值
，且滿足
.
∴
.
令
，則
.
可知，當時，
，單調遞增；
當時，
，單調遞減，
∴
.
∴函數極小值的最大值為1.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】中央政府為了應對因人口老齡化而造成的勞動力短缺等問題，擬定出臺“延遲退休年齡政策”為了了解人們對“延遲退休年齡政策”的態度，責成人社部進行調研．人社部從網上年齡在15-65歲的人群中隨機調查100人，調查數據的頻率分布直方圖和支持“延遲退休”的人數與年齡的統計結果如下：
年齡 |
|
|
|
|
|
支持“延遲退休”的人數 | 15 | 5 | 15 | 28 | 17 |
（1）由以上統計數據填2×2列聯表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0．05的前提下認為以45歲為分界點的不同人群對“延遲退休年齡政策”的支持度有差異；
45歲以下 | 45歲以上 | 總計 | |
支持 | |||
不支持 | |||
總計 |
參考數據：
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
，其中
．
（2）若以45歲為分界點，從不支持“延遲退休”的人中按分層抽樣的方法抽取8人參加某項活動、現從這8人中隨機抽2人．記抽到45歲以上的人數為X，求隨機變量X的分布列及數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學校實行自主招生，參加自主招生的學生從8個試題中隨機挑選出4個進行作答，至少答對3個才能通過初試，已知甲、乙兩人參加初試，在這8個試題中甲能答對6個，乙能答對每個試題的概率為
，且甲、乙兩人是否答對每個試題互不影響.
（1）試通過概率計算，分析甲、乙兩人誰通過自主招生初試的可能性更大；
（2）若答對一題得5分，答錯或不答得0分，記乙答題的得分為
，求的分布列.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】金秋九月，丹桂飄香，某高校迎來了一大批優秀的學生．新生接待其實也是和社會溝通的一個平臺．校團委、學生會從在校學生中隨機抽取了160名學生，對是否愿意投入到新生接待工作進行了問卷調查，統計數據如下：
愿意 | 不愿意 | |
男生 | 60 | 20 |
女士 | 40 | 40 |
（1）根據上表說明，能否有99%把握認為愿意參加新生接待工作與性別有關；
（2）現從參與問卷調查且愿意參加新生接待工作的學生中，采用按性別分層抽樣的方法，選取10人．若從這10人中隨機選取3人到火車站迎接新生，設選取的3人中女生人數為
，寫出的分布列，并求
．
附：
，其中
．
| 0.05 | 0.01 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費
(單位：千元)對年銷售量
(單位：
)和年利潤
(單位：千元)的影響.對近
年的年宣傳費
和年銷售量數據
作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值.
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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表中
，
.附：對于一組數據
，
，
，
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘法估計分別為
，
.
（1）根據散點圖判斷，
與
在哪一個適宜作為年銷售量 關于年宣傳費 的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)
（2）根據1小問的判斷結果及表中數據，建立 關于 的回歸方程；
（3）已知這種產品的年利潤 與
的關系為
.根據2小問的結果回答下列問題：
①2年宣傳費
時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？
②3年宣傳費為何值時，年利潤的預報值最大？
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