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【題目】在三棱錐中，，三角形為等邊三角形，二面角的余弦值為，當三棱錐的體積最大值為時，三棱錐的外接球的表面積為______.

【答案】

【解析】

根據題意作出圖象,利用三垂線定理找出二面角的平面角,再設出的長,

即可求出三棱錐的高,然后利用利用基本不等式即可確定三棱錐的體積最大值,從而得出各棱的長度,最后根據球的幾何性質,利用球心距,半徑,底面半徑之間的關系即可求出三棱錐的外接球的表面積.

如圖所示：

過點作面,垂足為,過點作交于點,連接.

則為二面角的平面角的補角,即有.

∵易證面,∴,而三角形為等邊三角形, ∴為的中點.

設, .

∴.

故三棱錐的體積為

當且僅當時,,即.

∴三點共線.

設三棱錐的外接球的球心為,半徑為.

過點作于,∴四邊形為矩形.

則,,,

在中,,解得.

三棱錐的外接球的表面積為.

故答案為：．

練習冊系列答案
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【題目】如圖兩個同心球，球心均為點，其中大球與小球的表面積之比為3:1，線段與是夾在兩個球體之間的內弦，其中兩點在小球上，兩點在大球上，兩內弦均不穿過小球內部.當四面體的體積達到最大值時，此時異面直線與的夾角為，則（ ）

A.B.C.D.

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（2）直線平面SDB.

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A.B.C.D.

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【題目】隨著時代的發展和社會的進步，“農村淘寶”發展十分迅速，促進“農產品進城”和“消費品下鄉”.“農產品進城”很好地解決了農產品與市場的對接問題，使農民收入逐步提高，生活水平得到改善，農村從事網店經營的人收入逐步提高.西鳳臍橙是四川省南充市的特產，因果實呈橢圓形、色澤橙紅、果面光滑、無核、果肉脆嫩化渣、汁多味濃，深受人們的喜愛.為此小王開網店銷售西鳳臍橙，每月月初購進西鳳臍橙，每售出1噸西鳳臍橙獲利潤800元，未售出的西鳳臍橙，每1噸虧損500元.經市場調研，根據以往的銷售統計，得到一個月內西鳳臍橙市場的需求量的頻率分布直方圖如圖所示.小王為下一個月購進了100噸西鳳臍橙，以x（單位：噸）表示下一個月內市場的需求量，y（單位：元）表示下一個月內經銷西鳳臍橙的銷售利潤.

（1）將y表示為x的函數；

（2）根據頻率分布直方圖估計小王的網店下一個月銷售利潤y不少于67000元的概率；

（3）在直方圖的需求量分組中，以各組的區間中點值代表該組的各個值，需求量落入該區間的頻率作為需求量取該區間中點值的概率，（例如：若需求量，則取，且的概率等于需求量落入的頻率），求小王的網店下一個月銷售利潤y的分布列和數學期望.

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