Question

【題目】已知函數．

（1）當為何值時， 軸為曲線的切線；

（2）用表示中的最小值，設函數，討論零點的個數．

Answer 1

【答案】（1）當時， 軸是曲線的切線（2）當或時， 有一個零點；當或時， 有兩個零點；當時， 有三個零點．

【解析】【試題分析】（1）先對函數求導，再運用導數的幾何意義建立方程組進行分析求解；（2）先確定函數的解析式，再運用分類整合思想分類討論函數的零點的個數問題以及對應的參數的范圍：

（1）設曲線與軸相切于點，則，即，

解得： ，

因此，當時， 軸是曲線的切線；

（2）當時， ，從而，

∴在無零點，

當時，若，則， ，故是的零點； 若，則， ，故不是的零點，當時， ，所以只需考慮在的零點個數，

（Ⅰ）若或，則在無零點，故在單調，而，

所以當時， 在有一個零點； 當時， 在無零點；

（Ⅱ）若，則在單調遞減，在單調遞增，

故當時， 取的最小值，最小值為．

若，即， 在無零點；

若，即，則在有唯一零點；

③若，即，由于，所以當時， 在有兩個零點；當時， 在有一個零點．

綜上，當或時， 有一個零點；當或時， 有兩個零點；

當時， 有三個零點．