Question

【題目】已知函數．

（1）當函數與函數圖象的公切線l經過坐標原點時，求實數a的取值集合；

（2）證明：當時，函數有兩個零點，且滿足．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）先利用導數的幾何意義和函數求出公切線方程，再將公切線方程與函數聯立，表示，再構造函數利用導數求出其單調區間和值域，可求出a的取值；

（2）要證有兩個零點，只要證有兩個零點即可，而時函數的一個零點，所以只需再利用導數研究此函數的性質即可，由于兩個零點，一個是，另一個在區間上，若設則， 所以只需利用導數證明即可 .

解：（1）設公切線l與函數的切點為，則公切線l的斜率，公切線l的方程為：，將原點坐標代入，得，解得，公切線l的方程為：，

將它與聯立，整理得．

令，對之求導得：，令，解得．

當時，單調遞減，值域為，

當時，單調遞增，值域為，

由于直線l與函數相切，即只有一個公共點，

故實數a的取值集合為．

（2）證明：，要證有兩個零點，只要證有兩個零點即可．，即時函數的一個零點．

對求導得：，令，解得．當時，單調遞增；

當時，單調遞減．當時，取最小值，，，必定存在使得二次函數，

即．因此在區間上必定存在的一個零點．

練上所述，有兩個零點，一個是，另一個在區間上．

下面證明．

由上面步驟知有兩個零點，一個是，另一個在區間上．

不妨設則，下面證明即可．

令，對之求導得，

故在定義域內單調遞減，，即．