Question

【題目】

已知函數是定義在上的奇函數，且．

（1）求實數的值；

（2）判斷函數的單調性，并用定義證明；

（3）解不等式： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）見解析；（Ⅲ） .

【解析】試題分析：（1）根據定義域在上的奇函數可得即可求解實數的值；(2)直接利用定義法證明單調性；（3）利用函數的單調性和奇偶性即求解不等式.

試題解析：（1）由題意可知，解得

（2）由（1）

函數在上為增函數，

證明：在上任取，且，

∵，∴，∴， ，

∴，即，

函數 在上為增函數．

（3）原不等式，

∵是定義在上的奇函數，∴

由對數的性質

又∵是上的增函數，

∴，

解得，∴.

【方法點晴】本題主要考查函數的奇偶性、函數的單調性及抽象函數解不等式，屬于難題.根據抽象函數的單調性解不等式應注意以下三點：（1）一定注意抽象函數的定義域（這一點是同學們容易疏忽的地方，不等掉以輕心）；（2）注意應用函數的奇偶性（往往需要先證明是奇函數還是偶函數）；（3）化成 后再利用單調性和定義域列不等式組.