Question

已知{a_n}是公差為d的等差數列，{b_n}是公比為q的等比數列，
（1）若a_n=3n+1，是否存在m、k∈N*，有a_m+a_m+1=a_k？說明理由；
（2）找出所有數列{a_n}和{b_n}，使對一切n∈N*，，并說明理由；
（3）若a₁=5，d=4，b₁=q=3，試確定所有的p，使數列{a_n}中存在某個連續p項的和是數列{b_n}中的一項，請證明。

Answer 1

解：（1）由，
整理后，可得，
∵m、k∈N*，
∴k-2m為整數，
∴不存在m、k∈N*，使等式成立。
（2）若，（*）
（�。┤鬱=0，則，
當{a_n}為非零常數列，{b_n}為恒等于1的常數列，滿足要求。
（ⅱ）若d≠0，（*）式等號左邊取極限得，
（*）式等號右邊的極限只有當q=1時，才能等于1。此時等號左邊是常數，
∴d=0，矛盾。
綜上所述，只有當{a_n}為非零常數列，{b_n}為恒等于1的常數列，滿足要求。
（3），
設，
，
∴，
∵p、k∈N*，
∴，
取，
由二項展開式可得正整數M₁、M₂，使得（4-1）^2s+2=4M₁+1，
，
∴，
∴存在整數m滿足要求；
故當且僅當p=3^s，s∈N時，命題成立。