Question

(2009山東卷理)（本小題滿分12分）

兩縣城A和B相距20km，現計劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的的距離有關，對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y,統計調查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數為4；對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數為k ,當垃圾處理廠建在的中點時，對城A和城B的總影響度為0.065.

（1）將y表示成x的函數；

（11）討論（1）中函數的單調性，并判斷弧上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最��？若存在，求出該點到城A的距離;若不存在，說明理由。

Answer 1

解法一:（1）如圖,由題意知AC⊥BC,,

其中當時，y=0.065,所以k=9

所以y表示成x的函數為

（2）,,令得,所以,即,當時, ,即所以函數為單調減函數,當時, ,即所以函數為單調增函數.所以當時, 即當C點到城A的距離為時, 函數有最小值.

解法二: （1）同上.

（2）設,

則,,所以

當且僅當即時取”=”.

下面證明函數在(0,160)上為減函數, 在(160,400)上為增函數.

設0<m₁<m₂<160,則

 

,

因為0<m₁<m₂<160,所以4>4×240×240

9 m₁m₂<9×160×160所以,

所以即函數在(0,160)上為減函數.

同理,函數在(160,400)上為增函數,設160<m₁<m₂<400,則

因為1600<m₁<m₂<400,所以4<4×240×240, 9 m₁m₂>9×160×160

所以,

所以即函數在(160,400)上為增函數.

所以當m=160即時取”=”,函數y有最小值,

所以弧上存在一點，當時使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小.