Question

如圖，動點到兩定點、構成，且，設動點的軌跡為。

（1）求軌跡的方程；
（2）設直線與軸交于點，與軌跡相交于點，且，求的取值范圍。

Answer 1

（1）（2）

解析試題分析：（1）求動點軌跡方程，一般有四步.第一步，設所求動點的坐標，第二步，將條件轉化為坐標表示，本題，兩邊取正切，轉化為斜率關系，第三步，化簡關系式為常見方程形式，第四步，根據方程表示圖像，去掉不滿足的部分.（2）研究取值范圍，首先將表示為函數關系式.因為等于,所以先求出，從而有
，利用直線與雙曲線有兩個交點這一限制條件，得到m>1,且m2，這作為所求函數定義域，求出值域即為的取值范圍是
試題解析：解（1）設M的坐標為（x,y），顯然有x>0,.
當∠MBA=90°時，點M的坐標為（2，, ±3）
當∠MBA≠90°時；x≠2.由∠MBA=2∠MAB,
有tan∠MBA=,即
化簡得：3x2-y2-3=0,而又經過（2，,±3）
綜上可知，軌跡C的方程為3x2-y2-3=0（x>1）       5分
(2)由方程消去y，可得。（*）
由題意，方程（*）有兩根且均在（1，+）內，設
所以
解得，m>1,且m2
設Q、R的坐標分別為，由有

所以
由m>1，且m2，有

所以的取值范圍是               12分
考點：直接法求軌跡方程，直線與雙曲線位置關系