Question

已知函數，
（Ⅰ） 若f（x）在[1，+∞）上單調遞增，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若定義在區間D上的函數y=f（x）對于區間D上的任意兩個值x₁、x₂總有以下不等式成立，則稱函數y=f（x）為區間D上的“凹函 數”．試證當a≤0時，f（x）為“凹函數”．

Answer 1

解：（Ⅰ）由，
得…（2分）
函數為[1，+∞）上單調函數．
若函數為[1，+∞）上單調增函數，
則f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式在[1，+∞）上恒成立．
也即在[1，+∞）上恒成立．…（3分）
令，上述問題等價于a≥φ（x）_max，
而為在[1，+∞）上的減函數，
則φ（x）_max=φ（1）=0，于是a≥0為所求．…（5分）
（Ⅱ）證明：由
得
=…（7分）
而①…（9分）
又（x₁+x₂）²=（x₁²+x₂²）+2x₁x₂≥4x₁x₂，
∴②…（10分）
∵，
∴，
∵a≤0
∴③…（12分）
由①、②、③得
即，從而由凹函數的定義可知函數為凹函數．…（13分）
分析：（Ⅰ）由，得，由函數為[1，+∞）上單調增函數，知f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即不等式在[1，+∞）上恒成立．由此能求出a的取值范圍．
（Ⅱ）由，得=，，由此入手能夠證明當a≤0時，f（x）為“凹函數”．
點評：本題考查函數的恒等性在生產實際中的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．