已知函數
，
.
(I)求函數
的單調區間；
(Ⅱ)當
時，函數
恒成立，求實數
的取值范圍；
(Ⅲ)設正實數
滿足
，求證：
．
當
時，只有單調遞增區間
;當
時，單調遞增區間為
，
,單調遞減區間為
.
;
詳見解析.
【解析】
試題分析：先求出
的導數，討論
，利用導數的正負與函數單調性得關系求出單調區間；當x>1時，函數f(x)>g(x)恒成立轉化為>0恒成立.結合第問討論的單調區間得出的范圍；結合第問，令
，
，所以
，再利用柯西不等式，
，其中由條件
.最后得證.
試題解析：（Ⅰ）易知
,定義域是
.
1分
由
的判別式
①當
即
時，
恒成立，則
在單調遞增 2分
②當
時，
在恒成立，則在單調遞增 3分
③當時，方程的兩正根為
則在單調遞增，單調遞減，單調遞增
綜上，當時，只有單調遞增區間
當時，單調遞增區間為，
單調遞減區間為 5分
（Ⅱ）即
時，
恒成立
當時，在單調遞增 ∴當時，
滿足條件 7分
當時，在單調遞減
則在
單調遞減
此時
不滿足條件
故實數
的取值范圍為
9分
（Ⅲ）由（2）知，
在
恒成立
令 則 
10分
∴
11分
又
其中
∴
13分
∴
14分
考點：1.函數的求導；2.利用導數求函數單調性；3.柯西不等式.
科目：高中數學 來源：2012屆丹東市四校協作體高三摸底測試數學（零診） （文） 題型：解答題
（本小題滿分12分）已知函數
．
（I）當
時，若函數
在
上單調遞減，求實數
的取值范圍；
（II）若
，
，且過原點存在兩條互相垂直的直線與曲線均相切，求和
的值．
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科目：高中數學 來源：2012-2013學年山東省臨沂市臨沭縣高三（上）期中數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題
．查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源：2012-2013學年湖北省荊州市高三（上）12月質量檢查數學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題
．
，，求△ABC的面積．查看答案和解析>>
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． 
的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是
，求
的值；
上不單調，求
的取值范圍．
，且
.(I)求
的值；(II)求函數
在[1,3]上的最小值和最大值.