Question

【題目】已知函數（其中， ）.

（Ⅰ）當時，若對任意恒成立，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）設函數的圖象在兩點、處的切線分別為、，若， ，且，求實數的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：由于，只考慮的情況，對函數求導研究單調性和極值，利用恒成立極值原理求出的范圍；由于兩點切線垂直其斜率乘積等于，利用導數的幾何意義表示出斜率的關系，由于函數為分段函數，所以針對與的大小關系不同進行討論，求出的最值.

試題解析：（Ⅰ）依題意：當， 時，

.

， ，且， .

			0
		單調遞減	極小值	單調遞增

函數在上的最小值為 .

要令恒成立，只需恒成立，即： 或（舍去）.

又， .

實數的取值范圍是.

（Ⅱ）由可得： ，

而， .

當時，則

.

即： ，矛盾.

當時，則 .

.

， ， .

即： ，令，則（），

.

設，則.

			0
		單調遞減	極小值	單調遞增

函數的最小值為.實數的最小值為.