Question

【題目】設數列的前項和為，已知（），且.

（1）證明為等比數列，并求數列的通項公式；

（2）設，且證明；

（3）在（2）小問的條件下，若對任意的，不等式恒成立，試求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）

【解析】分析：（1）根據題設條件，利用等比數列的定義，即可判定數列是等比數列，進而求解數列的通項公式；

（2）由（1），得，進而得到，即可利用放縮法，證得；

（3）當恒成立時，即恒成立

設，分類討論求得函數的最大值，即可求得實數的取值范圍.

詳解：（1）在中

令，得即，

∵ 解得

當時，由，得到

則

又，則

是以為首項，為公比的等比數列，

，即

，則，

當時，

當時，，

綜上，

（3）當恒成立時，即（）恒成立

設（），

當時，恒成立，則滿足條件；

當時，由二次函數性質知不恒成立；

當時，由于對稱軸 ，則在上單調遞減，

恒成立，則滿足條件，

綜上所述，實數λ的取值范圍是