Question

設a、b為平面向量，若存在不全為零的實數λ，μ使得λa+μb=0，則稱a、b線性相關，下面的命題中，a、b、c均為已知平面M上的向量．
①若a=2b，則a、b線性相關；
②若a、b為非零向量，且a⊥b，則a、b線性相關；
③若a、b線性相關，b、c線性相關，則a、c線性相關；
④向量a、b線性相關的充要條件是a、b共線．
上述命題中正確的是________（寫出所有正確命題的編號）

Answer 1

①④
分析：利用和 線性相關 等價于 和 是共線向量，故①正確，②不正確，④正確．通過舉反例可得③不正確．
解答：若、線性相關，假設λ≠0，則=-，故 和 是共線向量．
反之，若 和 是共線向量，則 =-，即λ+μ=0，故 和 線性相關．
故 和 線性相關 等價于 和 是共線向量．
①若=2 ，則 -2 =0，故 和 線性相關，故①正確．
②若 和 為非零向量，⊥，則 和 不是共線向量，不能推出和 線性相關，故②不正確．
③若和 線性相關，則 和 線性相關，不能推出若和 線性相關，例如當= 時，
和 可以是任意的兩個向量．故③不正確．
④向量和 線性相關的充要條件是 和 是共線向量，故④正確．
故答案為 ①④．
點評：本題考查兩個向量線性相關的定義，兩個向量共線的定義，明確 和 線性相關 等價于 和 是共線向量，是解題的關鍵．