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(1)已知數列{an},其中cn=2n+3n,且數列{cn+1-pcn}為等比數列,求常數p;

(2)設{an}、{bn}是公比不相等的兩個等比數列,cn=an+bn,證明數列{cn}不是等比數列.

   

思路分析：(1)如果數列{cn+1-pcn}為等比數列,則必有c2-pc1,c3-pc2,c4-pc3成等比數列.由此,可以求出p的值,然后證明所求p值符合題意.

(2)否定式的命題,常用反證法來證明,即假設數列{cn}是等比數列,然后設法推出矛盾.我們可以試著從幾個特殊值c1,c2,c3來推出矛盾.

(1)解:因為{cn+1-pcn}是等比數列,

    故有c2-pc1,c3-pc2,c4-pc3成等比數列,

    所以(c3-pc2)2=(c2-pc1)(c4-pc3),

    即(35-13p)2=(13-5p)(97-35p).

    解得p=2或p=3.

    當p=2時,cn+1-pcn=(2n+1+3n+1)-2(2n+3n)=3n,符合題意;

    當p=3時,cn+1-pcn=(2n+1+3n+1)-3(2n+3n)=-2n,也符合題意;

∴p=2或p=3.

(2)證明:假設數列{an}是等比數列,

    設{an},{bn}的公比分別為p,q,p≠q,

    則c22=c1·c3,

    即(a1p+b1q)2=(a1+b1)(a1p2+b1q2),

    得(p-q)2=0.

∴p=q,這與p≠q矛盾,故數列{cn}不是等比數列.

練習冊系列答案
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(1)已知數列{an}是首項為2，公比為2的等比數列，且數列{an－2}是“K項可減數列”，試確定K的最大值；

(2)求證：若數列{an}是“K項可減數列”，則其前n項的和Sn＝an(n＝1，2，…，K)；

(3)已知{an}是各項非負的遞增數列，寫出(2)的逆命題，判斷該逆命題的真假，

并說明理由．

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 [番茄花園1] 

已知數列{an}滿足a1＝0，a2＝2，且對任意m、n∈N*都有

a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2

（Ⅰ）求a3，a5；

（Ⅱ）設bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，證明：{bn}是等差數列；

（Ⅲ）設cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求數列{cn}的前n項和Sn.

 

 

 

 [番茄花園1]1.

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