Question

如圖，在棱長為a的正方體A₁B₁C₁D₁-ABCD中，
（1）作出面A₁BC₁與面ABCD的交線l，判斷l與直線A₁C₁位置關系，并給出證明；
（2）證明B₁D⊥面A₁BC₁；
（3）求直線AC到面A₁BC₁的距離；
（4）若以A為坐標原點，分別以AB，AD，AA₁所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，試寫出C，C₁兩點的坐標．

Answer 1

（1）解：在平面ABCD內過點B作AC的平行線BE，
∵AC∥A₁C₁，AC∥BE，
∴BE∥A₁C₁，
∴面A₁BC₁與面ABCD的交線l與BE重合，
即直線BE就是所求的直線l．
∵BE∥A₁C₁，
l與BE重合，
∴l∥A₁C₁．
（2）證明：連接B₁D₁，
∵A₁B₁C₁D₁是正方形，
∴A₁C₁⊥B₁D₁，
∵A₁C₁⊥DD₁，
∴A₁C₁⊥面DBB₁D₁，
∴A₁C₁⊥B₁D．
同理A₁B⊥面ADC₁B₁，
∴A₁B⊥B₁D，
∵A₁C₁∩A₁B=A₁，
∴B₁D⊥面A₁BC₁．
（3）解：∵AC∥A₁C₁，且AC在面A₁BC₁外，A₁C₁?面A₁BC₁，
∴AC∥面A₁BC₁，
∴直線AC到面A₁BC₁的距離即為點A到面A₁BC₁的距離，記為h，
在三棱錐中A-A₁BC₁中，
，
∵正方體A₁B₁C₁D₁-ABCD棱長為a，
∴=••h=×sin60°=，
=•A₁C₁==，
∵，
∴．
（4）解：若以A為坐標原點，
分別以AB，AD，AA₁所在的直線為x軸、y軸、z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
∵正方體A₁B₁C₁D₁-ABCD的棱長為a，
∴C（a，a，0），C₁（a，a，a）．

分析：（1）在平面ABCD內過點B作AC的平行線BE，由AC∥A₁C₁，AC∥BE，知BE∥A₁C₁，故直線BE就是所求的直線l．且l∥A₁C₁．
（2）由A₁C₁⊥面DBB₁D₁，知A₁C₁⊥B₁D．由A₁B⊥面ADC₁B₁，知A₁B⊥B₁D，所以B₁D⊥面A₁BC₁．
（3）AC∥A₁C₁，且AC在面A₁BC₁外，A₁C₁?面A₁BC₁，所以AC∥面A₁BC₁，直線AC到面A₁BC₁的距離即為點A到面A₁BC₁的距離，記為h，由等積法能求出．
（4）若以A為坐標原點，分別以AB，AD，AA₁所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，能寫出C，C₁兩點的坐標．
點評：本題考查空間中點、線、面間的距離，證明直線和平面垂直，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．解題時要認真審題，仔細解答．