Question

（2012•黑龍江）設點P在曲線y=

1

2

ex上，點Q在曲線y=ln（2x）上，則|PQ|最小值為（　　）

• A．1-ln2
• B．

  2

  (1-ln2)
• C．1+ln2
• D．

  2

  (1+ln2)

Answer 1

分析：由于函數y=

1

2

ex與函數y=ln（2x）互為反函數，圖象關于y=x對稱，要求|PQ|的最小值，只要求出函數y=

1

2

ex上的點P(x，

1

2

ex)到直線y=x的距離為d=

| 1 2 ex-x|

2

的最小值，
設g（x）=

1

2

ex-x，利用導數可求函數g（x）的單調性，進而可求g（x）的最小值，即可求

解答：解：∵函數y=

1

2

ex與函數y=ln（2x）互為反函數，圖象關于y=x對稱
函數y=

1

2

ex上的點P(x，

1

2

ex)到直線y=x的距離為d=

| 1 2 ex-x|

2

設g（x）=

1

2

ex-x，（x＞0）則g′(x)=

1

2

ex-1
由g′(x)=

1

2

ex-1≥0可得x≥ln2，
由g′(x)=

1

2

ex-1＜0可得0＜x＜ln2
∴函數g（x）在（0，ln2）單調遞減，在[ln2，+∞）單調遞增
∴當x=ln2時，函數g（x）_min=1-ln2
dmin=

1-ln2

2

由圖象關于y=x對稱得：|PQ|最小值為2dmin=

2

(1-ln2)
故選B

點評：本題主要考查了點到直線的距離公式的應用，注意本題解法中的轉化思想的應用，根據互為反函數的對稱性把所求的點點距離轉化為點線距離，構造很好