Question

已知函數（a∈R）．
（Ⅰ） 當a≥0時，討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）設g（x）=x²-2bx+4．當時，
（i）若對任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），求實數b取值范圍．
（ii） 對于任意x₁，x₂∈（1，2]都有，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中函數的意義域為R⁺，由已知中的函數解析式，求出導函數的解析式，分a=0，，，，a≥1五種情況分別討論，最后綜合討論結果，即可得到f（x）的單調性；
（Ⅱ）（i）由（I）的結論，我們可得當時，f（x）在（0，1）上是減函數，在（1，2）上是增函數，則f（x₁）≥g（x₂），可轉化為≥f（x₂），由g（x）=x²-2bx+4，我們易由函數恒成立問題的處理方法，求出滿足條件的實數b取值范圍．
（ii） 由（I）中結論函數f（x）在（1，2]上是增函數，函數在（1，2]是減函數，則等價于，構造函數，可得函數h（x）是減函數，根據h'（x）≤0在（1，2]上恒成立，可構造關于λ的不等式，解不等式即可得到答案．
解答：解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（0，+∞），
因為，
所以當a=0時，，令得x＞1，
所以此時函數f（x）在（1，+∞）上是增函數，在（0，1）是減函數；-----------------------------（2分）
當時，，所以此時函數f（x）在（0，+∞）是減函數；
當時，令，解得，
此時函數f（x）在是增函數，在上是減函數；----------------------------------------------（4分）
當，令，解得，
此時函數f（x）在是增函數，在上是減函數；-----------------------------------------（6分）
當a≥1，由于，令，解得0＜x＜1，
此時函數f（x）在（0，1）是增函數，在（1，+∞）上是減函數．--------------------------------------------（8分）
（Ⅱ） （i）當時，f（x）在（0，1）上是減函數，在（1，2）上是增函數，所以對任意x₁∈（0，2），
有，又已知存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），所以，x₂∈[1，2]，
即存在x∈[1，2]，使，即，即，
所以，解得，即實數b取值范圍是．--------------------（12分）
（ii）不妨設1＜x₁≤x₂≤2，由函數f（x）在（1，2]上是增函數，函數在（1，2]是減函數，
∴等價于，
所以
設是減函數，
所以h'（x）≤0在（1，2]上恒成立，即，解得．---------（16分）
點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，函數恒成立問題，其中（1）的關鍵是對a值進行分類討論，而（2）的關鍵是構造函數，進而根據函數h（x）是減函數，則h'（x）≤0在（1，2]上恒成立，構造關于λ的不等式．