Question

如圖，點為圓形紙片內不同于圓心的定點，動點在圓周上，將紙片折起，使點與點重合，設折痕交線段于點.現將圓形紙片放在平面直角坐標系中，設圓：,記點的軌跡為曲線.

⑴證明曲線是橢圓，并寫出當時該橢圓的標準方程；

⑵設直線過點和橢圓的上頂點，點關于直線的對稱點為點，若橢圓的離心率，求點的縱坐標的取值范圍.

Answer 1

解：⑴依題意得，直線m為線段AM的中垂線，∴NA=NM

   ∴NC+NA=NC+NM=CM=2a>2。

∴N點的軌跡是以C、A為焦點，長軸為2a，焦距為2的橢圓。    ……………4分

   當a=2時，2a=4，焦距2C=2 ∴b²=3

∴橢圓方程為。 ……………………………………………………………6分

⑵設橢圓的標準方程為，由⑴知：b²=a²−1

又C(−1，0)，B(0，b)，

∴直線l的方程為，即bx−y+b=0         …………………………8分

設Q(x，y)，因為點Q與點A(1，0)關于直線l對稱。

∴，消去x，得：       …………………………10分

∵離心率e∈[，]， ∴≤e²≤，  即≤≤，  ∴≤a²≤4  ……………12分

∴≤b²+1≤4，即≤b≤。

∴≤2，當且僅當b=1時取等號。        ……………………14分

又當b=時，y=；當b=時，y=，∴≤y≤2。

∴點Q的縱坐標的取值范圍時[，2]。          ………………………………16分