Question

如圖，在四棱錐中，底面是矩形．已知，，， 

（1）證明平面；

（2）求異面直線與所成的角的正切值；

（3）求二面角的正切值．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）；（3）.

【解析】本試題主要考查了立體幾何中的線面的垂直問題的運用，以及異面直線所成的角的求解，和二面角的求解的綜合運用。

（1）證明：在中，由題設，，，可得，于是．在矩形中，，又，所以平面．

（2）解：由題設，，所以（或其補角）是異面直線與所成的角．

在中，由余弦定理得

．

由（Ⅰ）知平面，平面，

所以，因而，于是是直角三角形，

故．

所以異面直線與所成的角的正切值為．

（3）解：過點作于，過點作于，連結．

因為平面，平面，所以．又，因而平面，故為在平面內的射影．由三垂線定理可知，．從而是二面角的平面角．

由題設可得，，，

，，．

于是在中，．

所以二面角的正切值為