Question

定義在區間[-1，1]上的奇函數f（x）滿足：對任意a，b∈[-1，1]，a+b≠0，都有

f(a)+f(b)

a+b

＜0，f（1）=-3．
（1）證明：f（x）在[-1，1]上是減函數；
（2）解不等式：f（x+1）+f（x²-1）＞0；
（3）若不等式f（x）≤m²+2am對任意x，a∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得a，b∈[-1，1]時，

f(a)-f(b)

a-b

＜0，從而可證f（x）在[-1，1]上是減函數；
（2）利用f（x）在[-1，1]上是減函數，解不等式組-1≤x²-1＜-x-1≤1即可求得其解集；
（3）依題意知，m²+2am≥3，a∈[-1，1]恒成立，構造函數g（a）=2ma+m²，a∈[-1，1]，由

g(-1)≥3 g(1)≥3

即可求得實數m的取值范圍．

解答：證明：（1）∵函數f（x）是區間[-1，1]上的奇函數，
∴f（a）-f（b）=f（a）+f（-b），
∵對任意a，b∈[-1，1]，a+b≠0，都有

f(a)+f(b)

a+b

＜0，
∴當a，b∈[-1，1]，

f(a)+f(-b)

a+(-b)

=

f(a)-f(b)

a-b

＜0，
即奇函數f（x）曲線上任意兩點（a，f（a））與（b，f（b））的斜率為負值，
∴f（x）在[-1，1]上是減函數；
（2）由f（x+1）+f（x²-1）＞0得：f（x²-1）＞-f（x+1）=f（-x-1），
∵f（x）在[-1，1]上是減函數，
∴-1≤x²-1＜-x-1≤1，
解得：-1＜x＜0，
∴不等式：f（x+1）+f（x²-1）＞0的解集為（-1，0）．
 （3）∵不等式f（x）≤m²+2am對任意x，a∈[-1，1]恒成立，
∴m²+2am≥f（x）_max（-1≤x≤1）恒成立，
又f（x）在[-1，1]上是減函數，f（1）=-3，
∴當x∈[-1，1]時，f（x）_max=f（-1）=-f（1）=3，
∴m²+2am≥3，a∈[-1，1]恒成立，
令g（a）=2ma+m²，a∈[-1，1]，
依題意，

g(-1)≥3 g(1)≥3

，即

m2-2m≥3 m2+2m≥3

，
解得：m≤-3或m≥3，
∴實數m的取值范圍是：（-∞，-3]∪[3，+∞）．

點評：本題考查抽象函數及其應用，著重考查函數單調性，考查方程思想、化歸思想、構造函數思想的綜合運用，屬于難題．