Question

（05年江蘇卷）（14分）

設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁＝1，a₂＝6，a₃＝11，且

其中A,B為常數.

（Ⅰ）求A與B的值；

（Ⅱ）證明數列{a_n}為等差數列；

（Ⅲ）證明不等式對任何正整數m、n都成立.

Answer 1

解析：（1）由已知，得S₁=a₁=1,S₂=a₁+a₂=7,S₃=a₁+a₂+a₃=18.

                         由(5n-8)S_n+1-(5n+2)S_n=An+B知

                        

   解得          A=-20，  B=-8。

（Ⅱ）方法1

           由（1）得，（5n-8）S_n+1-(5n+2)S_n=-20n-8,        ①

           所以       (5n-3)S_n+2-(5n+7)S_n+1=-20n-28,       ②

           ②-①,得,  (5n-3)S_n+2-(10n-1)S_n+1+(5n+2)S_n=-20, ③

           所以       (5n+2)S_n+3-(10n+9)S_n+2+(5n+7)S_n+1=-20.④

           ④-③,得   (5n+2)S_n+3-(15n+6)S_n+2+(15n+6)S_n+1-(5n+2)S_n=0.

           因為        a_n+1=S_n+1-S_n

           所以       (5n+2)a_n+3-(10n+4)a_n+2+(5n+2)a_n+1=0.

           又因為     (5n+2),

           所以       a_n+3-2a_n+2+a_n+1=0,

           即         a_n+3-a_n+2=a_n+2-a_n+1, .

           又         a₃-a₂=a₂-a₁=5,

           所以數列為等差數列。

           方法2.

           由已知，S₁=a₁=1,

           又(5n-8)S_n+1-(5n+2)S_n=-20n-8,且5n-8,

           所以數列是惟一確定的。

           設b_n=5n-4,則數列為等差數列，前n項和T_n=

于是  (5n-8)T_n+1-(5n+2)T_n=(5n-8)

由惟一性得b_n=a,即數列為等差數列。

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，a_n=1+5(n-1)=5n-4.

 要證了          

 只要證           5a_mn>1+a_ma_n+2

 因為               a_mn=5_mn-4,a_ma_n=(5m-4)(5n-4)=25_mn-20(m+n)+16,

 故只要證         5（5_mn-4）>1+25_mn-20(m+n)+16+2

因為           

                               =20m+20n-37,

所以命題得證。