Question

已知函數f（x）=e^x+2x²-3x．
（Ⅰ）求證：函數f（x）在區間[0，1]上存在唯一的極值點，并用二分法求函數取得極值時相應x的近似值（誤差不超過0.2）；（參考數據e≈2.7，

e

≈1.6，e^0.3≈1.3）
（Ⅱ）當x≥1時，若關于x的不等式f（x）≥ax恒成立，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數可得f'（0）•f'（1）＜0，再證明f'（x）在區間[0，1]上存在唯一零點，即可得f（x）在區間[0，1]上存在唯一的極小值點；取區間[0，1]作為起始區間，用二分法逐次計算即可；
（Ⅱ）由f（x）≥ax，得ax≤e^x+2x²-3x，分離參數可得a≤

ex+2x2-3x

x

，求出右邊函數的最小值，即可求得a的取值范圍．

解答：（Ⅰ）證明：求導函數可得f'（x）=e^x+4x-3，…1分
∵f'（0）=e⁰-3=-2＜0，f'（1）=e+1＞0，
∴f'（0）•f'（1）＜0． …3分
令 h（x）=f'（x）=e^x+4x-3，則h'（x）=e^x+4＞0，…4分
∴f'（x）在區間[0，1]上單調遞增，
∴f'（x）在區間[0，1]上存在唯一零點，
∴f（x）在區間[0，1]上存在唯一的極小值點． …6分
取區間[0，1]作為起始區間，用二分法逐次計算如下：
f'（0.5）≈0.6＞0，而f'（0）＜0，
∴極值點所在區間是[0，0.5]；
又f'（0.3）≈-0.5＜0，∴極值點所在區間是[0.3，0.5]；
∵|0.5-0.3|=0.2，
∴區間[0.3，0.5]內任意一點即為所求． …9分
（Ⅱ）解：由f（x）≥ax，得ax≤e^x+2x²-3x，
∵x≥1，∴a≤

ex+2x2-3x

x

，…10分
令 g(x)=

ex+2x2-3x

x

，則g′(x)=

(x-1)ex+2x2

x2

，…11分
∵x≥1，∴g'（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）上單調遞增，
∴g_min（x）=g（1）=e-1，
∴a的取值范圍是a≤e-1．　　…13分

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值，考查二分法，考查恒成立問題，分離參數，確定函數的最值時關鍵．