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【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為，離心率為，過的直線與橢圓交于兩點，且的周長為8．

（1）求橢圓的方程；

（2）直線過點，且與橢圓交于兩點，求面積的最大值.

【答案】（1）；（2）3.

【解析】

（1）由的周長為8，可知,結合離心率為，可求出，，，從而可得到橢圓的標準方程；（2）由題意知直線的斜率不為0，設直線的方程為，，，將直線方程與橢圓方程聯立可得到關于的一元二次方程，由三角形的面積公式可知，結合根與系數關系可得到的表達式，求出最大值即可。

（1）由題意知, ,則,

由橢圓離心率,則,,

則橢圓的方程.

（2）由題意知直線的斜率不為0，

設直線的方程為，，，

則 ，

所以，

令，則，所以，

而在上單調遞增，則的最小值為4，

所以，

當時取等號，即當時，的面積最大值為3.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在四棱錐中，四邊形是矩形，平面 平面，點、分別為、中點.

（1）求證： 平面；

（2）若，求平面DEF與平面所成銳二面角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數 .

（1）當時,求曲線在點處的切線方程;

（2）討論函數的單調區間;

（3）求證：若函數在處取得極值,則對恒成立.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左,右頂點分別為右焦點為,直線是橢圓在點處的切線.設點是橢圓上異于的動點,直線與直線的交點為,且當時, 是等腰三角形.

（Ⅰ）求橢圓的離心率;

（Ⅱ）設橢圓的長軸長等于,當點運動時,試判斷以為直徑的圓與直線的位置關系,并加以證明.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某工廠生產、兩種元件，其質量按測試指標劃分為：大于或等于為正品，小于為次品.現從一批產品中隨機抽取這兩種元件各件進行檢測，檢測結果記錄如下：







B






由于表格被污損，數據、看不清，統計員只記得，且、兩種元件的檢測數據的平均值相等，方差也相等.

（1）求表格中與的值；

（2）從被檢測的件種元件中任取件，求件都為正品的概率.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某公司欲生產一款迎春工藝品回饋消費者，工藝品的平面設計如圖所示，該工藝品由直角和以為直徑的半圓拼接而成，點為半圈上一點（異于，），點在線段上，且滿足.已知，，設.

（1）為了使工藝禮品達到最佳觀賞效果，需滿足，且達到最大.當為何值時，工藝禮品達到最佳觀賞效果；

（2）為了工藝禮品達到最佳穩定性便于收藏，需滿足，且達到最大.當為何值時，取得最大值，并求該最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知一條動直線3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0，

（1）求證：直線恒過定點，并求出定點P的坐標；

（2）若直線與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點，是否存在直線滿足下列條件：①△AOB的周長為12；②△AOB的面積為6，若存在，求出方程；若不存在，請說明理由.

（3）若直線與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，當取最小值時，求直線的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖是函數的部分圖象，M，N是它與x軸的兩個不同交點，D是M，N之間的最高點且橫坐標為，點是線段DM的中點．

（1）求函數的解析式及上的單調增區間；

（2）若時，函數的最小值為，求實數a的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在直棱柱中， ∥，

.

(1)證明：直線平面；

(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦.

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