Question

（14分）已知函數f(x)=在定義域內為奇函數，

且f(1)=2,f()=;

（1）確定函數的解析式;

（2）用定義證明f(x)在[1，+∞）上是增函數；

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（3）解不等式f(t²+1)+f(-3+3t-2t²)<0.

Answer 1

解：（1）∵函數f(x)=在定義域內為奇函數∴b=0,f(1)=2,f()=

代入解方程組的a=1,c=1∴f(x)=x+-----------4分

(2)設x₁,x₂是區間（1，+∞）內的任意兩個實數，且x₁<x₂,

 ⊿x=x₂-x₁>0

⊿y=f(x₂)-f(x₁)=x₂-x₁+=x₂-x₁+=(x₂-x₁)

 ∵⊿x=x₂-x₁>0∵x₁,x₂是區間（1，+∞）內∴>0

∴⊿y>0∴f(x)在[1，+∞）上是增函數----------9分

(3) 由f(t²+1)+f(3+3t-2t²)<0.得f(t²+1)<-f(3+3t-2t²)∵f(x)為奇函數∴得f(t²+1)<f(3-3t+2t²)

又t²+1≥1,2t²-3t+3>1,f(x)在[1，+∞）上是增函數

∴1≤t²+1<3-3t+2t²得{t|t>2或t<1}---14分