Question

【題目】已知函數 （a為常數，a≠0）．
（1）當a=1時，求函數f（x）在點（3，f（3））的切線方程
（2）求f（x）的單調區間；
（3）若f（x）在x0處取得極值，且 ，而f（x）≥0在[e+2，e3+2]上恒成立，求實數a的取值范圍．（其中e為自然對數的底數）

Answer 1

【答案】
（1）解： （x＞2）

當a=1時， ，f'（3）=﹣2. ，

所以，函數f（x）在點（3，f（3））處的切線方程為：

，即4x+2y﹣3=0．

（2）解： = ，

因為x＞2，所以x﹣2＞0，

①當a＜0時，（x﹣1）2﹣（a+1）=x（x﹣2）﹣a＞0在x＞2上成立，

所以f'（x）當x＞2恒大于0，

故f（x）在（2，+∞）上是增函數．

②當a＞0時， ，

因為x＞2，

所以 ，a（x﹣2）＞0，

當 時，f'（x）≤0，f（x）為減函數；

當 時，f'（x）≥0，f（x）為增函數．

綜上：當a＜0時，f（x）在（2，+∞）上為增函數；

當a＞0時，f（x）在 上為增函數，在 上為減函數．

（3）解：由（2）知x0處有極值，故a＞0，且 ，

因為 且e+2＞2，

所以f（x）在[e+2，e3+2]上單調．

當[e+2，e3+2]為增區間時，f（x）≥0恒成立，則有 ．

當[e+2，e3+2]為減區間時，f（x）≥0恒成立，則有 解集為空集．

綜上：當a＞e6+2e3時滿足條件

【解析】（1）求出函數的導數，計算f（3），f′（3）的值，求出切線方程即可；（2）求出函數f（x）的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；（3）由（2）知x0處有極值，求出 ，得到f（x）在[e+2，e3+2]上單調，根據函數的單調性得到關于a的不等式組，解出即可．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能得出正確答案．