Question

【題目】記是定義在上且滿足如下條件的函數組成的集合：

①對任意的，都有；

②存在常數，使得對任意的、，都有.

（1）設函數，，判斷函數是否屬于？并說明理由；

（2）已知函數，求證：方程的解至多一個；

（3）設函數，，且，試求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數屬于，理由詳見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）求出函數的值域，利用題中定義找出符合條件的，使得，結合定義驗證即可；

（2）利用反證法，假設方程有兩根，分別設為、，且有，利用題中定義推出矛盾，從而證明出結論成立；

（3）由求得，再由可得出關于的不等式，綜合可得出實數的取值范圍.

（1）二次函數在區間上單調遞增，所以，，

即，所以，函數的值域為，

對任意的、，，

都有，

因此，函數屬于；

（2）假設方程的有兩個根，分別為、，且有，

則，

由于，故，矛盾.

故假設不成立，即方程的解至多一個；

（3）因為，則，即，解得，

且對任意，都有，

，解得.

綜上，實數的取值范圍是.