Question

已知等比數列的首項，公比，數列前n項和記為，前n

項積記為.

（Ⅰ）求數列的最大項和最小項；

（Ⅱ）判斷與的大小， 并求為何值時，取得最大值；

（Ⅲ）證明中的任意相鄰三項按從小到大排列，總可以使其成等差數列，如果所有這

些等差數列的公差按從小到大的順序依次設為，證明:數列為等比數列。

（參考數據）

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）

①   當n是奇數時，, 單調遞減，,

②   當n是偶數時，, 單調遞增，；

綜上，當n=1時，; 當n=2時，.                                ………………………4分 

（Ⅱ），

，

，

則當時，；當時，，……7分 

又，

的最大值是中的較大者.

，，

因此當n=12時，最大.                        ………………………9分 

（Ⅲ）隨n增大而減小，數列的奇數項均正數且遞減，偶數項均負數且遞增.

①當n是奇數時，調整為.則

，，

成等差數列；            ………………………11分 

②當n是偶數時，調整為；則

，，

成等差數列；

綜上可知，數列中的任意相鄰三項按從小到大排列，總可以使其成等差數列.……12分 

①n是奇數時，公差；

②n是偶數時，公差.

無論n是奇數還是偶數，都有，則，

因此，數列是首項為，公比為的等比數列.       ………………………14分 

 

【解析】略