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已知橢圓長軸長與短軸長之差是2-2，且右焦點F到此橢圓一個短軸端點的距離為，點C（m，0）是線段OF上的一個動點（O為坐標原點）。
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在過點F且與x軸不垂直的直線與橢圓交于A、B兩點，使得，并說明理由。
【注：當直線BA的斜率存在且為k時，的方向向量可表示為（1，k）】
解：（Ⅰ）由題意可知，
又，解得：a=，b=c=1，
∴橢圓的方程為。
（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（1，0），所以0≤m≤1，
假設存在滿足題意的直線l，設l的方程為y=k（x-1），
代入，得，
設，則，   ①
∴，
∴，

而AB的方向向量為（1，k），
∴，
∴當時，，即存在這樣的直線l；
當時，k不存在，即不存在這樣的直線l。
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點和上頂點分別為F1、F2、B，我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個橢圓的特征三角形是相似三角形，則稱這兩個橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比．已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1以拋物線y2=4
3
x的焦點為一個焦點，且橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和為4．（1）若橢圓C2與橢圓C1相似，且相似比為2，求橢圓C2的方程．
（2）已知點P（m，n）（mn≠0）是橢圓C1上的任一點，若點Q是直線y=nx與拋物線x2=
1
mn
y異于原點的交點，證明點Q一定落在雙曲線4x2-4y2=1上．
（3）已知直線l：y=x+1，與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓為Cb，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直線l上，B，D在曲線Cb上，若存在求出函數f（b）=SABCD的解析式及定義域，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓長半軸與短半軸之比是5：3，焦距是8，焦點在x軸上，則此橢圓的標準方程是（　　）

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科目：高中數學 來源：江蘇省常州市2006－2007學年度第一學期期末質量調研高三數學試題 題型：044

已知橢圓的離心率為，直線l：y＝x＋2與以原點為圓心，以橢圓C1的短半軸長為半徑的圓相切．

(1)求橢圓C1的方程；

(2)設橢圓C1的左焦點為F1，右焦點F2，直線l1過點F1且垂直于橢圓的長軸，動直線l2垂直l1于點P，線段PF2垂直平分線交l2于點M，求點M的軌跡C2的過程；

(3)設C2與x軸交于點Q，不同的兩點R，S在C2上，且滿足求的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓長軸長與短軸長之差是，且右焦點F到此橢圓一個短軸端點的距離為，點是線段上的一個動點（為坐標原點）.

（I）求橢圓的方程;

(Ⅱ)是否存在過點且與軸不垂直的直線與橢圓交于、兩點,

使得,并說明理由. 

【注：當直線BA的斜率存在且為時，的方向向量可表示為】

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