Question

設{a_n}是由正數組成的等差數列，S_n是其前n項和
（1）若S_n=20，S_2n=40，求S_3n的值；
（2）若互不相等正整數p，q，m，使得p+q=2m，證明：不等式S_pS_q＜S_m²成立；
（3）是否存在常數k和等差數列{a_n}，使ka_n²-1=S_2n-S_n+1恒成立（n∈N^*），若存在，試求出常數k和數列{a_n}的通項公式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n也是等差數列，得到S_n+（S_3n-S_2n）=2（S_2n-S_n），從而可求S_3n的值；
（2）S_pS_q=pq（a₁+a_p）（a₁+a_q）=pq[a₁²+a₁（a_p+a_q）+a_pa_q]，進而利用基本不等式可證；
（3）設a_n=pn+q（p，q為常數），則Ka_n²-1=kp²n²+2kpqn+kq²-1，
，
則 ，故有 ，由此能夠求出常數 及等差數列 滿足題意．
解答：解：（1）在等差數列{a_n}中，S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，…成等差數列，
∴S_n+（S_3n-S_2n）=2（S_2n-S_n）
∴S_3n=3 S_2n-3 S_n=60…（4分）
（2）S_pS_q=pq（a₁+a_p）（a₁+a_q）
=pq[a₁²+a₁（a_p+a_q）+a_pa_q]
=pq（a₁²+2a₁a_m+a_pa_q）＜（）²[a₁²+2a₁a_m+（）²]
=m²（a₁²+2a₁a_m+a_m²）=[m（a₁+a_m）]²
=S_m²…（8分）
（3）假設存在常數k和等差數列{a_n}，使ka_n²-1=S_2n-S_n+1恒成立．
設a_n=pn+q（p，q為常數），則Ka_n²-1=kp²n²+2kpqn+kq²-1，
，
則 ，
故有 ，

由①得p=0或 ．當p=0時，由②得q=0，而p=q=0不適合③，故p≠0把 代入②，得 把 代入③，又 得 ，從而 ．故存在常數 及等差數列 滿足題意．
點評：本題以等差數列為載體，考查數列的性質和應用，解題時先假設存在常數k和等差數列{a_n}，使ka_n²-1=S_2n-S_n+1恒成立．然后再根據題設條件進行求解．