Question

【題目】△ABC中的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若 b=4c，B=2C （Ⅰ）求cosB；
（Ⅱ）若c=5，點D為邊BC上一點，且BD=6，求△ADC的面積．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意得B=2C，則sinB=sin2C=2sinCcosC， 又 b=4c，所以cosC= = = ，
所以cosB=cos2C=2cos2C﹣1= ；
（Ⅱ）因為c=5， b=4c，所以b=4 ，
由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB
則80=a2+25﹣2× a，
化簡得，a2﹣6a﹣55=0，
解得a=11或a=﹣5（舍去），
由BD=6得，CD=5，
由cosC= 得sinC= = ，
所以△ADC的面積S=
= =10．
【解析】（Ⅰ）由二倍角的正弦公式、正弦定理求出cosC，由二倍角的余弦公式變形求出cosB的值；（Ⅱ）由題意求出b的值，由余弦定理列出方程，化簡后求出a的值，由條件求出CD的值，由cosC和平方關系求出sinC，代入三角形的面積公式求出△ADC的面積．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解余弦定理的定義的相關知識，掌握余弦定理:;;．