Question

已知直線C₁： ，(t為參數)，圓C₂： (θ為參數)．

（I）當α＝時，求C₁與C₂的交點的直角坐標；

（II）過坐標原點O作C₁的垂線，垂足為A，P為OA的中點．當α變化時，求P點軌跡的參數方程，并指出它是什么曲線．

 

Answer 1

【答案】

（I）C₁與C₂的交點為(1,0)，(，－)．（II）P點軌跡是圓心為(，0)，半徑為的圓．

【解析】本試題主要是考查了參數方程與極坐標方程之間的轉換以及直線與圓的位置關系的運用。利用參數方程消去參數的思想求解軌跡方程的綜合運用。

（1）當α＝時，C₁的普通方程為y＝(x－1)，C₂的普通方程為x²＋y²＝1.

聯立方程組，解得C₁與C₂的交點為(1,0)，(，－)

（II）由C₁的普通方程為xsinα－ycosα－sinα＝0.

A點坐標為(sin²α，－cosαsinα)，故當α變化時，P點軌跡的參數方程為

 ，消去參數求解得到軌跡方程

解：（I）當α＝時，C₁的普通方程為y＝(x－1)，C₂的普通方程為x²＋y²＝1.

聯立方程組，解得C₁與C₂的交點為(1,0)，(，－)．…（5分）

（II）C₁的普通方程為xsinα－ycosα－sinα＝0.

A點坐標為(sin²α，－cosαsinα)，

故當α變化時，P點軌跡的參數方程為

 ，(α為參數)． P點軌跡的普通方程為(x－)²＋y²＝.

故P點軌跡是圓心為(，0)，半徑為的圓．