Question

將函數f(x)=sinx·sin(x+2)·sin(x+3)在區間（0,+∞）內的全部極值點按從小到大的順序排成數列{a_n} (n=1,2,3,…).
(1)求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=sina_nsina_n+1sina_n+2,求證：b_n=（n=1，2，3，…）.

Answer 1

（1）a_n=+（n-1）·=，（n=1，2，3，…）（2）證明見解析

（1）解 ∵f（x）=sinx·sin(x+)·sin(x+)
=sinx··cosx
=-sinx·cosx=-sin3x
∴f（x）的極值點為x=+，k∈Z，從而它在區間（0，+∞）內的全部極值點按從小到大排列構成以為首項，為公差的等差數列，
∴a_n=+（n-1）·=，（n=1，2，3，…）.
（2）證明 由a_n=知對任意正整數n,a_n都不是的整數倍.
所以sina_n≠0,從而b_n=sina_nsina_n+1sina_n+2≠0.
于是==
==-1.
又b₁=sin·sin·sin=,
{b_n}是以為首項，-1為公比的等比數列.
∴b_n=（n=1，2，3，…）.