Question

設F₁、F₂分別為橢圓C：（a＞b＞0）的左、右兩個焦點。
（1）若橢圓C上的點A（1，）到F₁、F₂兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標；
（2）設點K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段F₁K的中點的軌跡方程；
（3）已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時，那么k_PM與k_PN之積是與點P位置無關的定值，試對雙曲線寫出具有類似特性的性質，并加以證明。

Answer 1

解：（1）橢圓C的焦點在x軸上，由橢圓上的點A到F₁、F₂兩點的距離之和是4，得2a=4，即a=2，
又點A（1，）在橢圓上，
因此，得b²=3，于是c²=1，
所以橢圓C的方程為，焦點F₁（-1，0），F₂（1，0）。
（2）設橢圓C上的動點為K（x₁，y₁），線段F₁K的中點Q（x，y）滿足：，
即x₁=2x+1，y₁=2y，
因此，
即為所求的軌跡方程。
（3）類似的性質為：若M、N是雙曲線：上關于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時，那么k_PM與k_PN之積是與點P位置無關的定值，
設點M的坐標為（m，n），則點N的坐標為（-m，-n），其中，
又設點P的坐標為（x，y），
由，得
k_PMk_PN=，
將代入，得k_PMk_PN=。