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定義函數fn（x）=（1+x）n-1，x＞-2，n∈N。
（1）求證：fn（x）≥nx；
（2）是否存在區間[a，0]（a<0），使函數在區間[a，0]上的值域為[ka，0]？若存在，求出最小的k值及相應的區間[a，0]，若不存在，說明理由。
解：（1）
令
則
當時，
當時，
∴g（x）在x=0處取得極小值，同時g（x）是單峰函數，則g（0）也是最小值
∴
即（當且僅當x=0時取等號）；
（2）

令得，
∴當時，
當時，
當
故h（x）的草圖如圖所示
①在時，最小值
∴
②在時，最小值
，
③在時，最小值=
∴，時取等號
綜上討論可知k的最小值為，此時。
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•黃浦區二模）對n∈N*，定義函數fn（x）=-（x-n）2+n，n-1≤x≤n．
（1）求證：y=fn（x）圖象的右端點與y=fn+1（x）圖象的左端點重合；并回答這些端點在哪條直線上．
（2）若直線y=knx與函數fn（x）=-（x-n）2+n，n-1≤x≤n（n≥2，n∈N*）的圖象有且僅有一個公共點，試將kn表示成n的函數．
（3）對n∈N*，n≥2，在區間[0，n]上定義函數y=f（x），使得當m-1≤x≤m（n∈N*，且m=1，2，…，n）時，f（x）=fm（x）．試研究關于x的方程f（x）=fn（x）（0≤x≤n，n∈N*）的實數解的個數（這里的kn是（2）中的kn），并證明你的結論．

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科目：高中數學 來源： 題型：

定義函數fn（x）=（1+x）n-1，x＞-2，x∈N*．
（1）求證：fn（x）≥nx；
（2）是否存在區間[a，0]（a＜0），使函數h（x）=f3（x）-f2（x）在區間[a，0]上的值域為[ka，0]若存在，求出最小的k值及相應的區間[a，0]，若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

對n∈N*，定義函數fn（x）=-（x-n）2+n，n-1≤x≤n．
（1）求證：y=fn（x）圖象的右端點與y=fn+1（x）圖象的左端點重合；并回答這些端點在哪條直線上．
（2）若直線y=knx與函數fn（x）=-（x-n）2+n，n-1≤x≤n（n≥2，n∈N*）的圖象有且僅有一個公共點，試將kn表示成n的函數．
（3）對n∈N*，n≥2，在區間[0，n]上定義函數y=f（x），使得當m-1≤x≤m（n∈N*，且m=1，2，…，n）時，f（x）=fm（x）．試研究關于x的方程f（x）=fn（x）（0≤x≤n，n∈N*）的實數解的個數（這里的kn是（2）中的kn），并證明你的結論．

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科目：高中數學 來源：月考題 題型：解答題

定義函數fn（x）=（1+x）n﹣1，x＞﹣2，x∈N*．
（1）求證：fn（x）≥nx；
（2）是否存在區間[a，0]（a＜0），使函數h（x）=f3（x）﹣f2（x）在區間[a，0]上的值域為[ka，0]，若存在，求出最小的k值及相應的區間[a，0]，若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年湖南省常德市芷蘭實驗學校高三（上）第三次月考數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

定義函數fn（x）=（1+x）n-1，x＞-2，x∈N*．
（1）求證：fn（x）≥nx；
（2）是否存在區間[a，0]（a＜0），使函數h（x）=f3（x）-f2（x）在區間[a，0]上的值域為[ka，0]若存在，求出最小的k值及相應的區間[a，0]，若不存在，說明理由．

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