Question

點A，B，C，D在拋物線x²=4y上，A，D關于拋物線的對稱軸對稱．過點D的切線平行于BC，點D到到AB，AC距離分別為d₁，d₂，且．
（Ⅰ）試判斷△ABC的形狀（銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形），并說明理由；
（Ⅱ）若△ABC的面積為240，求點A的坐標和BC的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用導數的幾何意義即可得出直線BC的斜率，進而可得直線AC、AB的斜率之間的關系，即可判斷三角形的形狀；
（Ⅱ）利用點A的坐標表示弦長|AC|、|AB|，進而利用面積即可得出坐標，及直線方程．
解答：解：（Ⅰ）由x²=4y得，．設，由導數的幾何意義知BC的斜率，
由題意知，設，
則，所以，，
所以k_AC=-k_AB，∴∠DAC=∠DAB，∴d₁=d₂，
又由得，
∴∠DAC=∠DAB=45°，故△ABC是直角三角形．
（Ⅱ）由（1）知，不妨設C在AD上方，AB的方程為：，
由得到另一個交點．
由，
由得到另一個交點．
∴，，
∴，
解得x=±8，∴A（8，16）或（-8，16），
若x=8時，B（4，4），C（12，36），BC：y=4x-12，
若x=-8時，B（-12，36），C（-4，4），BC：y=-4x-12．
點評：熟練掌握導數的幾何意義、直線的斜率與傾斜角的關系、直線與拋物線相交問題、弦長公式即可得出．