Question

某地區舉辦青少年科技創新大賽，有50件科技創新作品進入了最后的評審階段，大賽組委會對這50件作品分別從“藝術與創新”和“功能與實用”兩項進行評分，每項評分均按等級采用5分制，若設“藝術與創新”得分為x，“功能與實用”得分為y，統計結果如下表：
（Ⅰ）求“藝術與創新為4分且功能與實用為3分”的概率；
（Ⅱ）若“功能與實用”得分的數學期望為，求a、b的值．

Answer 1

解：∵作品數量共有50件，∴可以求得：a+b=3①
（Ⅰ）從表中可以看出，“藝術與創新為4分且功能與實用為3分”的作品數量為6件，
∴“藝術與創新為4分且功能與實用為3分”的概率為．
（Ⅱ）由表可知“功能與實用”得分y有1分、2分、3分、4分、5分五個等級，
且每個等級分別有5件，b+4件，15件，15件，a+8件．
∴“功能與實用”得分y的分布列為：

又∵“功能與實用”得分的數學期望為，
∴
與①式聯立可解得：a=1，b=2．
即答案為a=1，b=2．
分析：（Ⅰ）求“藝術與創新為4分且功能與實用為3分”的概率，可以根據圖表看出“藝術與創新為4分且功能與實用為3分”有6件作品，除以總的作品數即可得到答案．
（Ⅱ）若“功能與實用”得分的數學期望為，求a、b的值．因為由作品的總數可以求得a+b=3，又由表可知“功能與實用”得分y有1分、2分、3分、4分、5分五個等級，分別求出每個等級的概率，即可得到分布列，再根據期望公式求得期望即可，有2個含有a，b的表達式即可解出答案．
點評：此題主要考查離散型隨機變量的分布列和期望的求法，對于此類圖表型的題目仔細分析圖表是題目的關鍵，切記不可偏離圖表．同學們需要注意．