Question

已知直線l₁：2x-y+6=0與y軸交于C點，直線l₂與x軸交于點A（8，0），l₁與l₂交于B點，O為坐標原點，若A、B、C、O四點共圓，則直線l₂的方程為

x+2y-8=0

，圓的方程為

（x-4）²+（y-3）²=25

．

Answer 1

分析：根據題意畫出圖形，如圖所示，由A、B、C、O四點共圓，可得對角互補，再根據x軸與y軸垂直，得到∠AOC為直角，進而確定出∠ABC為直角，即兩直線垂直，由直線l₁的斜率，利用兩直線垂直時斜率的乘積為-1，求出直線l₂斜率，再由直線l₂過A點，由A的坐標和求出的斜率，寫出直線l₂的方程即可；同時根據90°的圓周角所對的弦為直徑可得AC為四點確定圓的直徑，由A和C的坐標，利用線段中點坐標公式求出AC的中點D的坐標，即為圓心坐標，再利用兩點間的距離公式求出|AC|的長，即為圓的直徑，求出圓的半徑，根據圓心坐標和半徑寫出圓的標準方程即可．

解答：解：根據題意畫出圖形，如圖所示：
∵A、B、C、O四點共圓，
∴∠COA+∠ABC=180°，又∠COA=90°，
∴∠ABC=90°，即l₁⊥l₂，
∵直線l₁的斜率為2，∴直線l₂的斜率為-

1

2

，
又直線l₂與x軸交于點A（8，0），
∴直線l₂的方程為：y=-

1

2

（x-8），即x+2y-8=0，
又∠AOC為弦AC所對的圓周角，且∠AOC=90°，
∴AC為圓的直徑，設D為AC的中點，即為圓心，
∵C（0，6），A（8，0），
∴點D坐標為（

0+8

2

，

6+0

2

），即（4，3），
又|AC|=

(0-8)2+(6-0)2

=10，
∴圓的半徑為5，
則所求圓的方程為（x-4）²+（y-3）²=25．
故答案為：x+2y-8=0；（x-4）²+（y-3）²=25

點評：此題考查了圓的標準方程，直線的一般式方程，以及兩直線的交點坐標，涉及的知識有：圓內接四邊形的性質，圓周角定理，兩直線垂直斜率滿足的關系，線段中點坐標公式，以及兩點間的距離公式，利用了數形結合的思想，其中根據圓內接四邊形的性質得到兩直線垂直是解本題的關鍵．