Question

已知常數數列的前項和為，且

（1）求證：數列為等差數列；

（2）若且數列是單調遞增數列，求實數的取值范圍；

（3）若數列滿足：對于任意給定的正整數，是否存在使若存在，求的值（只要寫出一組即可）；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）∵∴，，    ┄┄┄2分

     ∴

     化簡得：（常數），

     ∴數列是以1為首項，公差為的等差數列；               ┄┄┄4分

   （Ⅱ）由（Ⅰ）知，又∵，，

     ∴，∴

     ①當是奇數時，∵，∴，

   令，∴

   ∵

   ∴，且，∴；  ┄7分

     ②當是偶數時，∵，∴，

   令，∴

   ∵

   ∴，且，∴；

         綜上可得：實數的取值范圍是．                           ┄10分

   （Ⅲ）由（Ⅰ）知，，又∵，

     設對任意正整數k，都存在正整數，使，

 ∴，∴          ┄┄┄12分

 令，則（或）

 ∴（或）                        ┄16分

【解析】略