Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，，.

（1）證明：平面；

（2）在線段上是否存在點，使得平面與平面所成的銳二面角為，若存在，求出線段的長度；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，

【解析】

（1）易得，同時由直三棱柱的性質可得平面平面，又，所以平面，得，故可得平面；

（2）分別以，，方向為，，軸正方向建立空間直角坐標系，

設，則，，由空間向量法可得的值.

（1）由已知可得四邊形為正方形，所以，

因為幾何體是直三棱柱，

所以平面平面，

又，所以平面，得，

因為，所以平面，

（2）如圖，

由已知，，兩兩垂直，分別以，，方向為，，軸正方向建立空間直角坐標系，則，，，設，則，所以，，

設平面的一個法向量為，

則，

，

取，得，

平面的一個法向量為.

所以

解得，因為，所以，

所以線段上存在點，且，使得平面與平面所成的銳二面角為.