Question

【題目】已知函數．

（1）求曲線與直線垂直的切線方程；

（2）求的單調遞減區間；

（3）若存在，使函數成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）減區間為和；（3）.

【解析】

試題分析：（1）求出導數，令，求出切點坐標，可得切線方程；（2）令解出的單調遞減區間；（3）由已知得，分離常數，存在使函數成立，使即可，對進行求導，利用導數判斷函數的單調性得到其最小值.

試題解析：（1）由已知，·······2分

設切點坐標為，令，解得，所以，因此切線方程為，即；·······4分

（2）函數的定義域為，

，由，解得或，

所以函數的單調遞減區間為和．·······8分

（3）因為，

由已知，若存在使函數成立，

則只需滿足當時，即可．·······9分

又，

則，·······10分

①若，則在上恒成立，

所以在上單調遞增，

，

∴，又∵，∴．·······13分

②若，則在上單調遞減，在上單調遞增，

所以在上的最小值是，·······15分

又∵，而，所以一定滿足條件，

綜上所述，的取值范圍是．·······16分