Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，是的中點，是棱上的點，且.

（Ⅰ）求證：平面底面；

（Ⅱ）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ).

【解析】試題分析：（1）根據計算可得，由等腰三角形性質得，由線面垂直判定定理得平面，再根據面面垂直判定定理得平面底面；（2）根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解得平面的一個法向量，再根據向量數量積得兩平面法向量夾角，最后根據二面角與法向量夾角相等或互補關系確定結果.

試題解析：（Ⅰ）證明：連接，∵四邊形是直角梯形，，，為的中點，∴四邊形為平行四邊形，又∵，∴，∵是邊長為2的正三角形，是的中點，∴，，在中，，，有，∴，∵，、平面，∴平面，又∵平面，∴平面底面；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知能以為原點，分別以、、為、、軸建立坐標系如圖，則，，∵，，，是的中點，∴ ， ，∴ ，又∵，∴，∴，，設平面的一個法向量為，由，即，令，得，又為平面的一個法向量，∴，∴二面角為.

點睛:垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型.

(1)證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行.

(2)證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直.

(3)證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直.