Question

12、函數y=f′（x）是函數y=f（x）的導函數，且函數y=f（x）在點p（x₀，f（x₀））處的切線為：l：y=g（x）=f′（x₀）（x-x₀）+f（x₀），F（x）=f（x）-g（x），如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖象如圖所示，且a＜x₀＜b，那么（　�。�

A、F′（x₀）=0，x=x₀是F（x）的極大值點

B、F′（x₀）=0，x=x₀是F（x）的極小值點

C、F′（x₀）≠0，x=x₀不是F（x）極值點

D、F′（x₀）≠0，x=x₀是F（x）極值點

Answer 1

分析：先對函數F（x）進行求導，可確定F'（x₀）=0即x₀有可能是函數的極值點，然后再判斷函數f（x）的增長快慢從而確定F（x）的單調性，得到結論．

解答：解：∵F（x）=f（x）-g（x）=f（x）-f′（x₀）（x-x₀）-f（x₀），
∴F'（x）=f'（x）-f′（x₀）∴F'（x₀）=0
由圖知在[0，b]上函數f（x）增長的越來越快，∴f'（x）＞0且是增函數
∴當0＜x＜x₀時∴F'（x）=f'（x）-f′（x₀）＜0，函數F（x）單調遞減
當x₀＜x＜b時，F'（x）=f'（x）-f′（x₀）＞0，函數F（x）單調遞增
∴x=x₀是F（x）的極小值點
故選B．

點評：本題主要考查函數的極值與其導函數的關系，即當函數取到極值時導函數一定等于0，反之當導函數等于0時還要判斷原函數的單調性才能確定是否有極值．